Insieme Reali - con escursus su N Z,Q,I

N Numeri Naturali

N (+,* legge di composizione interna)
N Naturali -> definite operazioni di somma + e prodotto *
legge di composizione interna: dati m,n appartenenti a N
-> m+n appartiene a N
-> m*n appartiene a N
Se si considerasse l'operazione sottrazione - non ci sarebbe più la legge di composizione interna

Z Numeri Interi Relativi

Z (+,-,* legge di composizione interna)
Definiamo Z -> insieme dei numeri relativi le operazioni +,-,* rispettano la legge di composizione interna.
Se si considerasse l'operazione di divisione non ci sarebbe la legge di composizione interna

Q Numeri Razionali o Frazionali

Q (+,-,*,/ legge di composizione interna)
Definiamo Q -> Insieme dei numeri razionali o frazionali (comprende interi, decimali, finiti e non finiti periodici) 10,2 può essere visto come 102/10
In Q sono legge di composizione interna “+”,"-","*","/" ma non l'estrazione di radice ad es. √2 non può essere espresso come rapporto fra due numeri naturali e primi

I = R≠Q Numeri Irrazionali

I -> Irrazionali decimali infiniti non periodici
Definiamo I -> (Non abbiamo ancora definito R ma possiamo vedere I=R≠Q) al posto di I si può usare complemento di Q indicato con Q^c
L'esigenza nasce quando i Greci si accorsero che non si poteva esprimere in Q il rapporto tra DIAGONALE QUADRATO e un suo LATO
es. d/l=√2

R≠Q (Numeri Irrazionali) si classificano in ALGEBRICI (ottenibili con combinazione di operazioni algebriche) e TRASCENDENTI (non ottenibili con l'algebra) es π e numero di Nepero
√2 algebricamente è 2^1/2

R Numeri Reali

Definiamo R come insieme RAZIONALI + insieme IRRAZIONALI

ASSIOMA A1) Operazione di SOMMA con proprietà

• Commutativa
• Associativa
• 0 elemento neutro
• Opposto a+(-a)=0

Queste proprietà valgono per N (tranne opposto), per Z, Q, R

ASSIOMA A2) Operazione di PRODOTTO con proprietà

• commutativa
• associativa
• 1 elemento neutro
• inverso (RECIPROCO) n=1/n n^-1
• Distributiva

In generale A1 e A2 sono godute da R e Q, mentre in Z solo 1 ammette reciproco

GRUPPO COMMUTATIVO o ABELIANO INSIEME SU CUI SONO SODDIFATTE TUTTE LE PROPRIETÀ di A1 (ASSOCIATIVA,NEUTRO,OPPOSTO ,COMMUTATIVA)
GRUPPO se manca solo la COMMUTATIVA

CORPO COMMUTATIVO o CAMPO INSIEME SU CUI SONO SODDIFATTE LE PROPRIETÀ di A1 e A2

CORPO se (K,+) è un gruppo ABELIANO
se (k,*) è un gruppo
se l'operazione * è distributiva rispetto a +

CAMPO se (K,+) è un gruppo ABELIANO
se (k,*) è un gruppo abeliano
se l'operazione * è distributiva rispetto a +

ASSIOMA A3) RELAZIONE D'ORDINE ≤ con seguenti PROPRIETÀ per ogni a,b appartenenti a R

Compatibilità con +

• a ≤ b -> a+c ≤ b+c
• 0 ≤ a, 0 ≤ b -> 0 ≤ a+b

Compatibilità con *

• a ≤ b -> a*c ≤ b*c
• 0 ≤ a, 0 ≤ b -> 0 ≤ a*b

ASSIOMA DI COMPLETEZZA A4
Dati A e B due insieme non vuoti in R, per ogni coppia a appartenente ad A e b appartenente a B, con a≤b esiste un elemento c separatore appartenente a R
tale che a ≤ c ≤ b
Se A U B = R l'elemento c esiste ed è unico

Proprietà

• REGOLA DI SEMPLIFICAZIONE RISPETTO ALLA SOMMA SE a + b = a + c allora b=c
• REGOLA DI SEMPLIFICAZIONE RISPETTO AL PRODOTTO SE a *b = a * c allora b=c
• LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO SE a*b=0 almeno uno dei 3 elementi è nullo
• UNICITÀ DELL'OPPOSTO
• UNICITÀ DEL RECIPROCO
  

• -(-a)=a
• (-a)*b=-a*b
• (-a)*(-b)=a*b
• a >= b b <= a
• a < b sse a <=b and a≠b
• a > b sse a >=b and a≠b
• a <= b equivale b-a >= 0
• a >= b equivale b-a <= 0

• proprietà transitiva a <= b and b <= c allora a <= c
• proprietà transitiva a >= b and b >= c allora a >= c
• R è un insieme infinito, ordinato, completo, denso e può essere rappresentabile su una retta

TEOREMA DI DENSITÀ di Q in R
Q è denso in R, presi a e b in R con a <= b esiste sempre un numero razionale r tale che a < r < b

TEOREMA DI DENSITÀ di Q complemento in R
Q complemento è denso in R, presi a e b in R con a <= b esiste sempre un numero irrazionale i tale che a < i < b

TEOREMA
In un qualsiasi intervallo aperto ]a,b[ di R esistono infiniti numeri razionali e infiniti numeri irrazionali
Dato un insieme A in R, il massimo di A, se esiste, è un numero M appartenente ad A tale che
M > = a per ogni a appartenente all'insieme

Concetto	Descrizione
MASSIMO	Dato un insieme A in R, il massimo di A, se esiste, è un numero M appartenente ad A tale che M ≥ a per ogni a appartenente all'insieme
MINIMO	Dato un insieme A in R, il minimo di A, se esiste, è un numero m appartenente ad A tale che m ≤ a per ogni a appartenente all'insieme
MAGGIORANTE	Un numero si dice maggiorante per un insieme A se L ≥ a per ogni a dell'insieme; il maggiorante può non appartenere all'insieme
MINORANTE	Un numero l si dice minorante per un insieme A se l ≤ a per ogni a dell'insieme; il minorante può non appartenere all'insieme
LIMITATO SUPERIORMENTE - ESTREMO SUPERIORE	Se esiste un MAGGIORANTE dell'insieme A si dice che A è limitato superiormente, il più piccolo dei MAGGIORANTI è detto estremo superiore sup; se S=Sup(A) S ≥ a per ogni a di A, se prendiamo una piccola quantità Epsilon > 0 S-Epsilon < a allora S-Epsilon non è maggiorante
LIMITATO INFERIORMENTE - ESTREMO INFERIORE	Se esiste un MINORANTE dell'insieme A si dice che A è limitato inferiormente, il più grande dei MINORANTI è detto estremo inferiore inf; se I=Inf(A) I ≤ a per ogni a di A, se prendiamo una piccola quantità Epsilon > 0 i+Epsilon > a allora i+Epsilon non è minorante
LIMITATO	Si dice limitato se è limitato inferiormente e superiormente; R+ non ha maggiorante, 0 è minorante non può essere minimo perché non appartiene all'insieme
INSIEMI NON LIMITATI	Se A è un insieme non vuoto, non limitato superiormente. L'estremo superiore sarà + INFINITO; Se A è un insieme non vuoto, non limitato inferiormente. L'estremo inferiore sarà - INFINITO; Ogni sottoinsieme di N non vuoto è dotato di minimo; Ogni sottoinsieme non vuoto di N, superiormente limitato è dotato di MASSIMO
PROPRIETÀ DI ARCHIMEDE	Per ogni X di R esiste n appartenente a N tale che n > x cioè non è limitato superiormente