FUNZIONI ALGEBRICHE NON LINEARI

DEFINIZIONE

Le funzioni algebriche non lineari sono funzioni che coinvolgono potenze di x diverse da 1, radici, o prodotti di variabili. Esempi comuni includono funzioni quadratiche, cubiche, e funzioni con radici.

VALORE ASSOLUTO

DEFINIZIONE

Il valore assoluto di un numero x, indicato come |x|, è definito come:

|x| = x se x >= 0
|x| = -x se x < 0

Proprietà del Valore Assoluto

Se x >= 0: |x| = x
Se x = 0: |x| = 0
Se x < 0: |x| = -x

Operazioni con il Valore Assoluto

|a * b| = |a| * |b|
|a / b| = |a| / |b| (b ≠ 0)
|a + b| ≤ |a| + |b| (Diseguaglianza Triangolare)
|a - b| ≥ ||a| - |b||

Caratteristiche fx

Caratteristica	Descrizione
Dominio	R
Codominio	R+ (se x >= 0)
Immagine	Valori assunti dalla funzione
Crescente	Se x >= 0
Decrescente	Se x < 0
Limitata	Inferiormente da 0
Non Limitata	Superiormente
Minoranti	0
Maggioranti	Non presenti
Punti di massimo/minimo	Non presenti nelle funzioni algebriche non lineari
Estremi superiori/inferiori	Non presenti nelle funzioni algebriche non lineari

FUNZIONE POTENZA

DEFINIZIONE

Una funzione potenza è una funzione della forma y = xⁿ, dove n è un numero reale. Le funzioni potenza possono avere diverse caratteristiche a seconda del valore di n.

PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI POTENZA

SE N È PARI:
- La funzione è simmetrica rispetto all'asse y.
- Il grafico è una parabola se n = 2, e una curva simile per altri valori pari di n.
- La funzione è crescente per x >= 0.
- La funzione è decrescente per x < 0.
- La funzione è illimitata superiormente se n > 0.
- La funzione è illimitata inferiormente se n < 0.
- Esempio: y = x², y = x⁴.
SE N È DISPARI:
- La funzione è simmetrica rispetto all'origine.
- Il grafico attraversa l'origine e ha una forma a "S" se n = 3, e una curva simile per altri valori dispari di n.
- La funzione è crescente per tutti i valori di x.
- La funzione è illimitata superiormente e inferiormente.
- Esempio: y = x³, y = x⁵.

ESEMPIO

y = x²: Funzione quadratica, grafico è una parabola con vertice nell'origine.
y = x³: Funzione cubica, grafico è una curva che attraversa l'origine.

FUNZIONI ALGEBRICHE NON LINEARI

DEFINIZIONE

VALORE ASSOLUTO

DEFINIZIONE

Il valore assoluto di un numero x, indicato come |x|, è definito come:

|x| = x se x >= 0
|x| = -x se x < 0

Proprietà del Valore Assoluto

Se x >= 0: |x| = x
Se x = 0: |x| = 0
Se x < 0: |x| = -x

Operazioni con il Valore Assoluto

|a * b| = |a| * |b|
|a / b| = |a| / |b| (b ≠ 0)
|a + b| ≤ |a| + |b| (Diseguaglianza Triangolare)
|a - b| ≥ ||a| - |b||

Caratteristiche fx

Caratteristica	Descrizione
Dominio	R
Codominio	R+ (se x >= 0)
Immagine	Valori assunti dalla funzione
Crescente	Se x >= 0
Decrescente	Se x < 0
Limitata	Inferiormente da 0
Non Limitata	Superiormente
Minoranti	0
Maggioranti	Non presenti
Punti di massimo/minimo	Non presenti nelle funzioni algebriche non lineari
Estremi superiori/inferiori	Non presenti nelle funzioni algebriche non lineari

FUNZIONE POTENZA

DEFINIZIONE

Una funzione potenza è una funzione della forma y = xⁿ, dove n è un numero reale. Le funzioni potenza possono avere diverse caratteristiche a seconda del valore di n.

PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI POTENZA

SE N È PARI:
- La funzione è simmetrica rispetto all'asse y.
- Il grafico è una parabola se n = 2, e una curva simile per altri valori pari di n.
- La funzione è crescente per x >= 0.
- La funzione è decrescente per x < 0.
- La funzione è illimitata superiormente se n > 0.
- La funzione è illimitata inferiormente se n < 0.
- Esempio: y = x², y = x⁴.
SE N È DISPARI:
- La funzione è simmetrica rispetto all'origine.
- Il grafico attraversa l'origine e ha una forma a "S" se n = 3, e una curva simile per altri valori dispari di n.
- La funzione è crescente per tutti i valori di x.
- La funzione è illimitata superiormente e inferiormente.
- Esempio: y = x³, y = x⁵.

ESEMPIO

y = x²: Funzione quadratica, grafico è una parabola con vertice nell'origine.
y = x³: Funzione cubica, grafico è una curva che attraversa l'origine.

CARATTERISTICHE FX

CARATTERISTICA	DESCRIZIONE
DOMINIO	R
CODOMINIO	R
IMMAGINE	Valori assunti dalla funzione
CRESCENTE	Se n > 0 per x > 0, se n < 0 per x < 0
DECRESCENTE	Se n > 0 per x < 0, se n < 0 per x > 0
LIMITATA	Dipende dal valore di n
NON LIMITATA	Dipende dal valore di n
ILLIMITATA SUPERIORMENTE	Se n > 0 e n è pari
ILLIMITATA INFERIORMENTE	Se n < 0 e n è pari
MINORANTI	Dipende dal valore di n
MAGGIORANTI	Dipende dal valore di n
PUNTI DI MASSIMO/MINIMO	Dipende dal valore di n
ESTREMI SUPERIORI/INFERIORI	Dipende dal valore di n

FUNZIONE RADICE ENNESIMA

DEFINIZIONE

Una funzione radice ennesima è una funzione della forma y = x^1/n, dove n è un numero reale positivo. Le funzioni radice ennesima possono avere diverse caratteristiche a seconda del valore di n.

PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI RADICE ENNESIMA

SE n È PARI:
- La funzione è definita solo per x >= 0.
- Il grafico è una curva che parte dall'origine e cresce lentamente.
- La funzione è crescente per x >= 0.
- La funzione è illimitata superiormente.
- La funzione è invertibile solo per x >= 0.
- Esempio: y = x^1/2 (radice quadrata), y = x^1/4 (radice quarta).
SE n È DISPARI:
- La funzione è definita per tutti i valori di x.
- Il grafico attraversa l'origine e ha una forma simile a una "S" allungata.
- La funzione è crescente per tutti i valori di x.
- La funzione è illimitata superiormente e inferiormente.
- La funzione è invertibile per tutti i valori di x.
- Esempio: y = x^1/3 (radice cubica), y = x^1/5 (radice quinta).

ESEMPIO

y = x^1/2: Funzione radice quadrata, grafico è una curva che parte dall'origine e cresce lentamente.
y = x^1/3: Funzione radice cubica, grafico è una curva che attraversa l'origine.

CARATTERISTICHE FX

CARATTERISTICA	DESCRIZIONE
DOMINIO	R (se n è dispari), R+ (se n è pari)
CODOMINIO	R
IMMAGINE	Valori assunti dalla funzione
CRESCENTE	Se n > 0 per x > 0, se n < 0 per x < 0
DECRESCENTE	Se n > 0 per x < 0, se n < 0 per x > 0
LIMITATA	Dipende dal valore di n
NON LIMITATA	Dipende dal valore di n
ILLIMITATA SUPERIORMENTE	Se n > 0 e n è pari
ILLIMITATA INFERIORMENTE	Se n < 0 e n è pari
MINORANTI	Dipende dal valore di n
MAGGIORANTI	Dipende dal valore di n
PUNTI DI MASSIMO/MINIMO	Dipende dal valore di n
ESTREMI SUPERIORI/INFERIORI	Dipende dal valore di n
INVERTIBILE	Globalmente (se n è dispari) o parzialmente (se n è pari)

SE n È PARI:

La funzione è definita solo per x >= 0.
La funzione è invertibile solo per x >= 0.

SE n È DISPARI:

La funzione è definita per tutti i valori di x.
La funzione è invertibile per tutti i valori di x.

Quindi, la regola dell'invertibilità non si applica per x < 0 quando n è pari, ma si applica per tutti i valori di x quando n è dispari.

TIPO FUNZIONE

TIPO FUNZIONE	CONDIZIONE	ESEMPIO	RISOLUZIONE ESEMPIO
Polinomio	Nessuna condizione particolare	y = x² + 3x + 2	Nessuna condizione di esistenza
Fratta	Denominatore diverso da zero	y = 1/(x - 2)	x ≠ 2
Irrazionale di indice pari non a denominatore	Radicando >= 0	y = √(x - 1)	x - 1 >= 0; x >= 1
Irrazionale di indice pari a denominatore	Radicando > 0	y = 1/√(x - 1)	x - 1 > 0; x > 1
Irrazionale con radice di indice dispari	Nessuna condizione particolare	y = (x - 1)^1/3	Nessuna condizione di esistenza

Torna all'indice