Disequazioni

Proprietà delle disuguaglianze tra numeri relativi

Dati due numeri reali a, b con a ≠ b (per la proprietà dell'ordinamento totale in R) si ha:

1. Ordinamento Totale in R:
   • Dati due numeri reali a, b con a ≠ b, si ha:
   • a > b o a < b sse a - b > 0 o a - b < 0
2. Aggiunta o Sottrazione di un Numero:
   • Aggiungendo o sottraendo un numero alla diseguaglianza a > b, il segno non cambia:
   • Se a > b, preso c in Z, si ha: a + c > b + c
   • Se a < b, preso c in Z, si ha: a + c < b + c
3. Aggiunta di Quantità Superiori e Inferiori:
   • Dati c > d, aggiungendo al primo membro di una diseguaglianza la quantità superiore c e al secondo membro quella inferiore d, la disuguaglianza non cambia:
   • Se a > b e c > d, allora a + c > b + d
4. Sottrazione di Quantità Inferiori e Superiori:
   • Dati c < d, sottraendo al primo membro di una diseguaglianza la quantità inferiore c e al secondo membro quella superiore d, la disuguaglianza non cambia:
   • Se a < b e c < d, allora a - c < b - d
5. Moltiplicazione per un Numero:
   • Dati a > b e c:
   • Se c > 0, allora ac > bc
   • Se c < 0, allora ac < bc
6. Passaggio ai Reciproci:
   • Dati a e b di segno concorde in una diseguaglianza, passando ai reciproci la diseguaglianza inverte il segno:
   • Se a > b, allora 1/a < 1/b
   • Se a < b, allora 1/a > 1/b
7. Elevamento a Potenza:
   • Se a e b sono positivi e n è intero positivo, l'elevamento a potenza lascia inalterato il segno:
   • Se a > b, allora aⁿ > bⁿ
   • Se a = b, allora aⁿ = bⁿ

Ordinamento Totale in R

Aggiunta o Sottrazione di un Numero

Aggiunta di Quantità Superiori e Inferiori

Sottrazione di Quantità Inferiori e Superiori

Moltiplicazione per un Numero

Passaggio ai Reciproci

Elevamento a Potenza

Le Disequazioni

DEFINIZIONE DI DISEQUAZIONE

Si dice disequazione di una variabile ogni condizione del tipo: f(x) ≠ g(x) con f(x) e g(x) polinomi nella variabile x

OSSERVAZIONE

Risolvere la disuguaglianza equivale a trovare per quali valori della variabile la disuguaglianza stessa è verificata.

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Aggiungendo ad ambo i membri della disequazione una stessa quantità, si ottiene una disequazione equivalente. È possibile trasportare un termine da un membro all’altro della disequazione purché si cambi il segno al termine stesso.

Esempio: Se 5 > 3, allora 5 + 2 > 3 + 2

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per un numero positivo si ha una disequazione equivalente a quella data. Moltiplicando e dividendo per un numero negativo si ottiene una disequazione con segno opposto e per averne una equivalente si deve cambiare il segno alla disequazione ottenuta.

Esempio: Se 4 > 2 e c = 3, allora 4 * 3 > 2 * 3

Esempio: Se 4 > 2 e c = -3, allora 4 * (-3) < 2 * (-3)

Disequazione di Primo Grado

DEFINIZIONE

Una disequazione è di primo grado se, una volta ridotta in forma normale (cioè fatte le dovute semplificazioni), è del tipo ax + b ≠ 0 con ax + b polinomio di primo grado.

RISOLUZIONE

Per risolvere una disequazione di primo grado si procede come segue:

• Se ax + b > 0, per il primo principio di equivalenza, è possibile portare b al secondo membro della disequazione, cambiandone il segno: ax > -b.
• Per il secondo principio (supposto a > 0), è possibile dividere per a e ottenere: x > -b/a.

Elevamento a Potenza

Le Disequazioni

DEFINIZIONE DI DISEQUAZIONE

Si dice disequazione di una variabile ogni condizione del tipo: f(x) ≠ g(x) con f(x) e g(x) polinomi nella variabile x

OSSERVAZIONE

Risolvere la disuguaglianza equivale a trovare per quali valori della variabile la disuguaglianza stessa è verificata.

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Aggiungendo ad ambo i membri della disequazione una stessa quantità, si ottiene una disequazione equivalente. È possibile trasportare un termine da un membro all’altro della disequazione purché si cambi il segno al termine stesso.

Esempio: Se 5 > 3, allora 5 + 2 > 3 + 2

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per un numero positivo si ha una disequazione equivalente a quella data. Moltiplicando e dividendo per un numero negativo si ottiene una disequazione con segno opposto e per averne una equivalente si deve cambiare il segno alla disequazione ottenuta.

Esempio: Se 4 > 2 e c = 3, allora 4 * 3 > 2 * 3

Esempio: Se 4 > 2 e c = -3, allora 4 * (-3) < 2 * (-3)

Disequazione di Primo Grado

DEFINIZIONE

Una disequazione è di primo grado se, una volta ridotta in forma normale (cioè fatte le dovute semplificazioni), è del tipo ax + b ≠ 0 con ax + b polinomio di primo grado.

RISOLUZIONE

Per risolvere una disequazione di primo grado si procede come segue:

• Se ax + b > 0, per il primo principio di equivalenza, è possibile portare b al secondo membro della disequazione, cambiandone il segno: ax > -b.
• Per il secondo principio (supposto a > 0), è possibile dividere per a e ottenere: x > -b/a.

Esempio: Se 2x + 3 > 0, allora x > -3/2

In modo analogo si procede se ax + b < 0:

• Per il primo principio, è possibile trasportare b al secondo membro, cambiando il segno: ax < -b.
• Per il secondo principio (supposto a > 0), si può dividere per a: x < -b/a.

Esempio: Se 2x + 3 < 0, allora x < -3/2

ESEMPIO 1

Risolvere l'equazione: 2x + 3 > 0

• Per il primo principio, portiamo 3 al secondo membro: 2x > -3.
• Per il secondo principio, dividiamo per 2: x > -3/2.

ESEMPIO 2

Risolvere la disequazione: 2x + 3 < 0

• Per il primo principio, portiamo 3 al secondo membro: 2x < -3.
• Per il secondo principio, dividiamo per 2: x < -3/2.

ESEMPIO 3

Risolvere la disequazione frazionaria: {2x + 3}/{x - 1} > 0

• Per risolvere questa disequazione, dobbiamo considerare il numeratore e il denominatore separatamente.
• Il numeratore 2x + 3 > 0 implica x > -3/2.
• Il denominatore x - 1 > 0 implica x > 1.
• La soluzione della disequazione frazionaria è l'intervallo x > 1.

MAPPA CONCETTUALE

• Definizione:
  • Disequazione di primo grado: ax + b ≠ 0
• Risoluzione:
  • Primo principio di equivalenza:
    • ax + b > 0 → x > -b/a
    • Esempio: 2x + 3 > 0 → x > -3/2
  • Secondo principio di equivalenza:
    • ax + b < 0 → x < -b/a
    • Esempio: 2x + 3 < 0 → x < -3/2
  • Disequazione frazionaria:
    • {2x + 3}/{x - 1} > 0
    • Numeratore: 2x + 3 > 0 → x > -3/2
    • Denominatore: x - 1 > 0 → x > 1
    • Soluzione: x > 1

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

DEFINIZIONE

Una disequazione è di primo grado se, una volta ridotta in forma normale (cioè fatte le dovute semplificazioni), è del tipo ax + b ≠ 0 con ax + b polinomio di primo grado.

RISOLUZIONE

Per risolvere una disequazione di primo grado si procede come segue:

• Se ax + b > 0, per il primo principio di equivalenza, è possibile portare b al secondo membro della disequazione, cambiandone il segno: ax > -b.
• Per il secondo principio (supposto a > 0), è possibile dividere per a e ottenere: x > -b/a.

Esempio Numerico: Se 2x + 3 > 0, allora x > -3/2

In modo analogo si procede se ax + b < 0:

• Per il primo principio, è possibile trasportare b al secondo membro, cambiando il segno: ax < -b.
• Per il secondo principio (supposto a > 0), si può dividere per a: x < -b/a.

Esempio Numerico: Se 2x + 3 < 0, allora x < -3/2

ESEMPIO 1

Risolvere l'equazione: 2x + 3 > 0

• Per il primo principio, portiamo 3 al secondo membro: 2x > -3.
• Per il secondo principio, dividiamo per 2: x > -3/2.

ESEMPIO 2

Risolvere la disequazione: 2x + 3 < 0

• Per il primo principio, portiamo 3 al secondo membro: 2x < -3.
• Per il secondo principio, dividiamo per 2: x < -3/2.

ESEMPIO 3

Risolvere la disequazione frazionaria: {2x + 3}/{x - 1} > 0

• Per risolvere questa disequazione, dobbiamo considerare il numeratore e il denominatore separatamente.
• Il numeratore 2x + 3 > 0 implica x > -3/2.
• Il denominatore x - 1 > 0 implica x > 1.
• La soluzione della disequazione frazionaria è l'intervallo x > 1.

MAPPA CONCETTUALE

• Definizione:
  • Disequazione di primo grado: ax + b ≠ 0
• Risoluzione:
  • Primo principio di equivalenza:
    • ax + b > 0 → x > -b/a
    • Esempio: 2x + 3 > 0 → x > -3/2
  • Secondo principio di equivalenza:
    • ax + b < 0 → x < -b/a
    • Esempio: 2x + 3 < 0 → x < -3/2
  • Disequazione frazionaria:
    • {2x + 3}/{x - 1} > 0
    • Numeratore: 2x + 3 > 0 → x > -3/2
    • Denominatore: x - 1 > 0 → x > 1
    • Soluzione: x > 1

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

DEFINIZIONE

Una disequazione è di primo grado se, una volta ridotta in forma normale (cioè fatte le dovute semplificazioni), è del tipo ax + b ≠ 0 con ax + b polinomio di primo grado.

CONDIZIONE	DESCRIZIONE
ax + b ≠ 0	Disequazione di primo grado

RISOLUZIONE

Per risolvere una disequazione di primo grado si procede come segue:

• Se ax + b > 0, per il primo principio di equivalenza, è possibile portare b al secondo membro della disequazione, cambiandone il segno: ax > -b.
• Per il secondo principio (supposto a > 0), è possibile dividere per a e ottenere: x > -b/a.

CONDIZIONE	RISULTATO
ax + b > 0	x > -b/a

Esempio Numerico: Se 2x + 3 > 0, allora x > -3/2

In modo analogo si procede se ax + b < 0:

• Per il primo principio, è possibile trasportare b al secondo membro, cambiando il segno: ax < -b.
• Per il secondo principio (supposto a > 0), si può dividere per a: x < -b/a.

CONDIZIONE	RISULTATO
ax + b < 0	x < -b/a

Esempio Numerico: Se 2x + 3 < 0, allora x < -3/2

ESEMPIO 1

Risolvere l'equazione: 2x + 3 > 0

• Per il primo principio, portiamo 3 al secondo membro: 2x > -3.
• Per il secondo principio, dividiamo per 2: x > -3/2.

ESEMPIO 2

Risolvere la disequazione: 2x + 3 < 0

• Per il primo principio, portiamo 3 al secondo membro: 2x < -3.
• Per il secondo principio, dividiamo per 2: x < -3/2.

ESEMPIO 3

Risolvere la disequazione frazionaria: {2x + 3}/{x - 1} > 0

• Per risolvere questa disequazione, dobbiamo considerare il numeratore e il denominatore separatamente.
• Il numeratore 2x + 3 > 0 implica x > -3/2.
• Il denominatore x - 1 > 0 implica x > 1.
• La soluzione della disequazione frazionaria è l'intervallo x > 1.

MAPPA CONCETTUALE

• Definizione:
  • Disequazione di primo grado: ax + b ≠ 0
• Risoluzione:
  • Primo principio di equivalenza:
    • ax + b > 0 → x > -b/a
    • Esempio: 2x + 3 > 0 → x > -3/2
  • Secondo principio di equivalenza:
    • ax + b < 0 → x < -b/a
    • Esempio: 2x + 3 < 0 → x < -3/2
  • Disequazione frazionaria:
    • {2x + 3}/{x - 1} > 0
    • Numeratore: 2x + 3 > 0 → x > -3/2
    • Denominatore: x - 1 > 0 → x > 1
    • Soluzione: x > 1

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

DEFINIZIONE

Una disequazione è di secondo grado se, una volta ridotta in forma normale, è del tipo ax² + bx + c ≤ 0 con a, b, c polinomi di secondo grado.

STUDIO DEL SEGNO

Per risolvere la disequazione, è necessario studiare il segno del trinomio di secondo grado ax² + bx + c.

DISCRIMINANTE

Si considera il discriminante Δ = b² - 4ac e si distinguono i diversi casi:

• I Caso: Δ < 0
  • Il trinomio non ammette radici reali.
  • Il segno del trinomio dipende dal coefficiente a:
    • Se a > 0, il trinomio è positivo.
    • Se a < 0, il trinomio è negativo.
• II Caso: Δ = 0
  • Il trinomio ha una radice doppia.
  • Il segno del trinomio dipende dal coefficiente a:
    • Se a > 0, il trinomio è positivo per ogni valore di x diverso dalla radice.
    • Se a < 0, il trinomio è negativo per ogni valore di x diverso dalla radice.
• III Caso: Δ > 0
  • Il trinomio ammette due radici reali e distinte x₁ e x₂.
  • Il segno del trinomio dipende dal coefficiente a:
    • Se a > 0, il trinomio è positivo per i valori esterni all'intervallo determinato dalle radici x₁ e x₂.
    • Se a < 0, il trinomio è negativo per i valori interni all'intervallo determinato dalle radici x₁ e x₂.

ESEMPIO

• I Caso
  • Risolvere la disequazione 4x² + 2x + 1 ≤ 0
  • Δ = 2² - 4 * 4 * 1 = 4 - 16 = -12
  • Δ < 0, quindi il trinomio è sempre positivo.
• II Caso
  • Risolvere la disequazione x² - 2x + 1 ≤ 0
  • Δ = (-2)² - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0
  • Δ = 0, quindi il trinomio è positivo per ogni valore di x diverso dalla radice.
• III Caso
  • Risolvere la disequazione x² - 5x + 6 ≤ 0
  • Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
  • Δ > 0, quindi il trinomio ha due radici reali e distinte x₁ = 2 e x₂ = 3.
  • Il trinomio è positivo per i valori esterni all'intervallo (2, 3).

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Riepilogo proprietà dei logaritmi

Proprietà	Formula
Logaritmo del prodotto	logb(x * y) = logb(x) + logb(y)
Logaritmo del quoziente	logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Logaritmo della potenza	logb(xy) = y * logb(x)
Logaritmo dell'unità	logb(1) = 0
Logaritmo della base	logb(b) = 1
Cambiamento di base	logb(a) = logc(a) / logc(b)

Logaritmi Comuni

• Logaritmo naturale: ln(x) = log_e(x), dove e = 2.718 (approssimato)
• Logaritmo decimale: log(x) = log₁₀(x)

Proprietà

Proprietà	Descrizione
Isolare il Logaritmo	Se possibile, porta il logaritmo su un lato della disequazione: logb(f(x)) ≤ c
Condizioni di Esistenza	Assicurati che l'argomento del logaritmo sia positivo: f(x) > 0
Esponenziare Entrambi i Lati	Applica la funzione esponenziale per eliminare il logaritmo: f(x) ≤ bc
Risolvere l'Equazione	Risolvi l'equazione risultante per x
Intersezione delle Soluzioni	Combina le soluzioni ottenute per trovare l'intervallo di valori di x che soddisfano la disequazione

Esempio

Risolviamo la disequazione: log₂(x - 1) ≤ 3

Proprietà	Descrizione
Isolare il Logaritmo	log2(x - 1) ≤ 3
Condizioni di Esistenza	x - 1 > 0
Esponenziare Entrambi i Lati	x - 1 ≤ 23
Risolvere l'Equazione	x ≤ 9
Intersezione delle Soluzioni	1 < x ≤ 9

Quindi, la soluzione della disequazione è: 1 < x ≤ 9

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

sqrt_n(f(x)) ≤ g(x) n indice Pari

Proprietà	Descrizione
Condizioni di Esistenza	f(x) ≥ 0
Condizioni su g(x)	g(x) ≥ 0
Elevare al Quadrato Entrambi i Lati	f(x) ≤ g(x)n
Intersezione delle Soluzioni	Combina le soluzioni ottenute per trovare l'intervallo di valori di x che soddisfano la disequazione

sqrt_n(f(x)) ≥ g(x) n Indice Pari

Proprietà	Descrizione
Condizioni di Esistenza	f(x) ≥ 0
Condizioni su g(x)	g(x) ≥ 0 oppure g(x) < 0
Elevare al Quadrato Entrambi i Lati	f(x) ≥ g(x)n
Intersezione delle Soluzioni	Combina le soluzioni ottenute per trovare l'intervallo di valori di x che soddisfano la disequazione

sqrt_n(f(x)) ≤ g(x) Indice Dispari

Proprietà	Descrizione
Isolare l'Espressione Irrazionale	sqrtn(f(x)) ≤ g(x)
Risolvere l'Equazione	Risolvi l'equazione risultante per x

sqrt_n(f(x)) ≥ g(x) Indice Dispari

Proprietà	Descrizione
Isolare l'Espressione Irrazionale	sqrtn(f(x)) ≥ g(x)
Risolvere l'Equazione	Risolvi l'equazione risultante per x

Esempio

Risolviamo la disequazione: sqrt_n(x - 2) ≤ x - 1

sqrt_n(x - 2) ≤ x - 1 Indice Pari

Proprietà	Descrizione
Condizioni di Esistenza	x - 2 ≥ 0
Condizioni su g(x)	x - 1 ≥ 0
Elevare al Quadrato Entrambi i Lati	x - 2 ≤ (x - 1)n

sqrt_n(x - 2) ≤ x - 1 Indice Dispari

Proprietà	Descrizione
Isolare l'Espressione Irrazionale	sqrtn(x - 2) ≤ x - 1
Risolvere l'Equazione	x - 2 ≤ xn - 3x + 3

Quindi, la soluzione della disequazione è: x ≥ 2

Disequazioni Esponenziali

Definizione

Una disequazione esponenziale è un'equazione in cui la variabile compare come esponente. La forma generale è af(x) ≤ b, dove a e b sono costanti e f(x) è una funzione della variabile x.

Proprietà delle Funzioni Esponenziali

• Crescita Esponenziale: Se a > 1, la funzione a^x cresce esponenzialmente.
• Decrescita Esponenziale: Se 0 < a < 1, la funzione a^x decresce esponenzialmente.
• Positività: La funzione esponenziale a^x è sempre positiva per ogni valore di x.

Passaggi per Risolvere le Disequazioni Esponenziali

Passaggio	Descrizione
Isolare l'Espressione Esponenziale	Porta l'espressione esponenziale su un lato della disequazione.
Applicare il Logaritmo	Applica il logaritmo su entrambi i lati della disequazione per eliminare l'esponente. Utilizza il logaritmo naturale (ln) o il logaritmo in base a (loga).
Risolvere l'Equazione	Risolvi l'equazione risultante per x.
Intersezione delle Soluzioni	Combina le soluzioni ottenute per trovare l'intervallo di valori di x che soddisfano la disequazione.

Esempio

Risolvere la disequazione 2^x+1 ≤ 8

Passaggi per Risolvere l'Esempio

Passaggio	Descrizione
Isolare l'Espressione Esponenziale	2x+1 ≤ 8
Applicare il Logaritmo	Poiché 8 = 23, possiamo riscrivere la disequazione come: 2x+1 ≤ 23
Risolvere l'Equazione	Poiché le basi sono uguali, possiamo confrontare gli esponenti: x+1 ≤ 3. Risolvi per x: x ≤ 2
Intersezione delle Soluzioni	La soluzione della disequazione è: x ≤ 2

TABELLA RIASSUNTIVA

CASO	DISCRIMINANTE	RADICI	SEGNO DEL TRINOMIO
I Caso	Δ < 0	Nessuna	Positivo se a > 0, Negativo se a < 0
II Caso	Δ = 0	Una doppia	Positivo se a > 0, Negativo se a < 0
III Caso	Δ > 0	Due distinte	Positivo per valori esterni all'intervallo (x1, x2) se a > 0, Negativo per valori interni all'intervallo (x1, x2) se a < 0

MAPPA

Una disequazione è di secondo grado se, una volta ridotta in forma normale, è del tipo ax² + bx + c ≤ 0 con a, b, c polinomi di secondo grado.

STUDIO DEL SEGNO

Per risolvere la disequazione, è necessario studiare il segno del trinomio di secondo grado ax² + bx + c.

DISCRIMINANTE

Si considera il discriminante Δ = b² - 4ac e si distinguono i diversi casi:

• I Caso: Δ < 0
  • Il trinomio non ammette radici reali.
  • Il segno del trinomio dipende dal coefficiente a:
    • Se a > 0, il trinomio è positivo.
    • Se a < 0, il trinomio è negativo.
• II Caso: Δ = 0
  • Il trinomio ha una radice doppia.
  • Il segno del trinomio dipende dal coefficiente a:
    • Se a > 0, il trinomio è positivo per ogni valore di x diverso dalla radice.
    • Se a < 0, il trinomio è negativo per ogni valore di x diverso dalla radice.
• III Caso: Δ > 0
  • Il trinomio ammette due radici reali e distinte x₁ e x₂.
  • Il segno del trinomio dipende dal coefficiente a:
    • Se a > 0, il trinomio è positivo per i valori esterni all'intervallo determinato dalle radici x₁ e x₂.
    • Se a < 0, il trinomio è negativo per i valori interni all'intervallo determinato dalle radici x₁ e x₂.

Valgono le relazioni x₁ + x₂ = −b/a e x₁ * x₂ = c/a

FORMA FATTORIZZATA DI ax² + bx + c ≤ 0

a(x - x₁)(x - x₂)

ESEMPIO

• I Caso
  • Risolvere la disequazione 4x² + 2x + 1 ≤ 0
  • Δ = 2² - 4 * 4 * 1 = 4 - 16 = -12
  • Δ < 0, quindi il trinomio è sempre positivo.
• II Caso
  • Risolvere la disequazione x² - 2x + 1 ≤ 0
  • Δ = (-2)² - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0
  • Δ = 0, quindi il trinomio è positivo per ogni valore di x diverso dalla radice.
• III Caso
  • Risolvere la disequazione x² - 5x + 6 ≤ 0
  • Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
  • Δ > 0, quindi il trinomio ha due radici reali e distinte x₁ = 2 e x₂ = 3.
  • Il trinomio è positivo per i valori esterni all'intervallo (2, 3).
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