Flashcard Funzioni Matematiche

Flashcard Operative sulle Stime

Stima di √(1 + x)

Espressione: √(1 + x)
Stima Lineare: 1 + ½•x
Stima Quadratica: 1 + ½•x − (⅛)•x²
Esempio: √(1.1) ≈ 1 + 0.05 − 0.00125 = 1.04875
Taylor: √(1 + x) = 1 + ½•x − (⅛)•x² + …

Formula generale (sviluppo di Taylor attorno a x = 0)

Espressione: (1 + x)^a = 1 + a•x + [a(a − 1)/2]•x² + [a(a − 1)(a − 2)/6]•x³ + …

Stime principali

Lineare: (1 + x)^a ≈ 1 + a•x
Quadratica: (1 + x)^a ≈ 1 + a•x + [a(a − 1)/2]•x²
Cubica: (1 + x)^a ≈ 1 + a•x + [a(a − 1)/2]•x² + [a(a − 1)(a − 2)/6]•x³

Esempi numerici

Potenza / Radice	Espressione	Stima lineare	Stima quadratica
Radice quadrata	(1+x)^1/2	1 + ½x	1 + ½x − ⅛x²
Radice cubica	(1+x)^1/3	1 + ⅓x	1 + ⅓x − 1/9x²
Inverso	(1+x)⁻¹	1 − x	1 − x + x²
Inverso di radice	(1+x)^−1/2	1 − ½x	1 − ½x + ⅜x²

Stime di funzioni elementari

1
1-x
: Lineare: 1 + x | Quadratica: 1 + x + x² | Esempio: 1⁄0.9 ≈ 1.11 | Taylor: 1 + x + x² + x³ + …
ln(1 + x): Lineare: x | Quadratica: x − ½x² | Esempio: ≈ 0.095 | Taylor: x − ½x² + ⅓x³ − …
eˣ: Lineare: 1 + x | Quadratica: 1 + x + ½x² | Esempio: ≈ 1.105 | Taylor: 1 + x + ½x² + 1⁄6x³ + …
sin(x): Lineare: x | Quadratica: x − 1⁄6x³ | Esempio: ≈ 0.0983 | Taylor: x − 1⁄6x³ + 1⁄120x⁵ − …
cos(x): Lineare: 1 | Quadratica: 1 − ½x² | Esempio: ≈ 0.995 | Taylor: 1 − ½x² + 1⁄24x⁴ − …
tan(x): Lineare: x | Quadratica: x + ⅓x³ | Esempio: ≈ 0.10033 | Taylor: x + ⅓x³ + 2⁄15x⁵ + …
arctan(x): Lineare: x | Quadratica: x − ⅓x³ | Esempio: ≈ 0.09967 | Taylor: x − ⅓x³ + ⅕x⁵ − …
sinh(x): Lineare: x | Quadratica: x + 1⁄6x³ | Esempio: ≈ 0.10167 | Taylor: x + 1⁄6x³ + 1⁄120x⁵ + …
cosh(x): Lineare: 1 | Quadratica: 1 + ½x² | Esempio: ≈ 1.005 | Taylor: 1 + ½x² + 1⁄24x⁴ + …
tanh(x): Lineare: x | Quadratica: x − ⅓x³ | Esempio: ≈ 0.09967 | Taylor: x − ⅓x³ + 2⁄15x⁵ − …

Potenza con base costante

Espressione: a^{(f(x)), con f(x) → 0}

Stima lineare: 1 + f(x) • ln(a)

Stima quadratica: 1 + f(x) • ln(a) + (½) • f(x)² • (ln(a))² + o(f(x)²)

Esempio: 2ˣ ≈ 1 + x • ln(2) + (½) • x² • (ln(2))²

Inversa con base costante

Espressione: a^{(−f(x)), con f(x) → 0}

Stima lineare: 1 − f(x) • ln(a)

Stima quadratica: 1 − f(x) • ln(a) + (½) • f(x)² • (ln(a))² + o(f(x)²)

Esempio: 2^-x ≈ 1 − x • ln(2) + (½) • x² • (ln(2))²

Base variabile

Binomio espanso

Espressione: (1 + f(x))^a, con f(x) → 0

Stima lineare: 1 + a • f(x)

Stima quadratica: 1 + a • f(x) +

a(a − 1)

2

• f(x)² + o(f(x)²

Esempio: (1 + 2x)³ ≈ 1 + 6x + 12x²

Binomio frenato

Espressione: (1 − f(x))^a, con f(x) → 0

Stima lineare: 1 − a • f(x)

Stima quadratica: 1 - a • f(x) +

a(a − 1)

2

• f(x)² + o(f(x)²

Esempio: (1 − x)⁴ ≈ 1 − 4x + 6x²

Potenza composta — log-esponenziale forma 1^∞

Espressione: (1 + f(x))^g(x), con f(x) → 0, g(x) → ∞

Stima lineare: e^L • (1 + a • x), con L = g(x) • f(x)

Stima quadratica: e^L • (1 + a • x + o(x)), con a = −(½) • g(x) • f(x)² / x

Esempio: (1 + 3x)^1/x ≈ e³ • (1 − (9/2) • x)

Rapporto potenza — frazione logaritmica

Espressione: (

f(x)

g(x)

)^a, con f(x), g(x) → 1

Stima lineare: a • (ln(f(x)) − ln(g(x)))

Stima quadratica: a • (f(x) − g(x) − (½) • (f(x)² − g(x)²))

Esempio: ((1 + 2x)/(1 − x))³ ≈ 1 + 9x + o(x)

Logaritmica — versione lineare del log

Espressione: log_a(f(x)) − log_a(g(x)), con f, g > 0 e f ≈ g

Stima lineare:

f(x) − g(x)

g(x) • ln(a)

+ o(f − g)

Esempio: lim_x→0 (log(1 + 2x) − log(1 + x)) / x = 1

Logaritmo di potenza

Espressione: log_a(1 + f(x)) • g(x), con f(x) > 0

Stima lineare:

g(x) • f(x)

ln(a)

+ o(f − g) -

g(x) • f(x)²

2 • ln(a)

+ o(f²)

Esempio: log((1 + x)^1/x) = log(1 + x)/x → 1

Limite differenziale (derivata)

Espressione: lim_{x → 0} (F(x) − F(0)) / x

Stima lineare: F′(0)

Stima quadratica: non applicabile

Esempio: lim_{x → 0} ((1 + 2x)⁴ − 1)/x = 8

Arcotangente — arctan(x) ✔

Dominio: ℝ

Codominio: (−π/2, π/2)

Parità: Dispari (simmetria rispetto all'origine)

Inversa: tan(x)

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Monotonia: Strettamente crescente ➕

Concavità: Convessa su x < 0, concava su x > 0

Asintoti: Orizzontali: y = ±π/2

Limiti notevoli: lim(x→±∞) arctan(x) = ±π/2

Derivata: 1 / (1 + x²)

Integrale: x•arctan(x) − ½•ln(1 + x²) + C

Taylor: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • x²ⁿ⁺¹] / (2n + 1)

Sviluppo di Taylor: arctan(x) ≈ x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + …

Stima asintotica: arctan(x) ≈ x − x³/3 + o(x³) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ

Integrale della serie: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • x²ⁿ⁺²] / ( (2n + 1)(2n + 2) )

Identità: arctan(x) + arctan(1/x) = π/2 (x > 0)

Applicazioni: trigonometria inversa, modelli di saturazione

Esempi: arctan(1) = π/4, arctan(−1) = −π/4, arctan(10) ≈ 1.47

Seno — sin(x) ✔

Dominio: ℝ

Codominio: [−1, 1]

Parità: Dispari (simmetria rispetto all'origine)

Inversa: arcsin(x) su [−1, 1]

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Periodicità: 2π

Monotonia: Alterna crescente/decrescente ogni semiperiodo

Concavità: Alterna concava/convessa ogni semiperiodo

Punti notevoli: sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(3π/2) = −1

Derivata: cos(x)

Integrale: −cos(x) + C

Limiti notevoli: lim(x→0) sin(x)/x = 1

Taylor: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • x²ⁿ⁺¹] / (2n + 1)!

Sviluppo di Taylor: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …

Stima asintotica: sin(x) ≈ x − x³/6 + o(x³) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • x²ⁿ] / (2n)!

Integrale della serie: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • x²ⁿ⁺²] / ( (2n + 1)! • (2n + 2) )

Identità: sin²(x) + cos²(x) = 1

Collegamenti: sin(x) = cos(x − π/2)

Applicazioni: Onde, oscillazioni, segnali periodici

Esempi: sin(π/6) = ½, sin(−π/2) = −1

Coseno — cos(x) ✔

Dominio: ℝ

Codominio: [−1, 1]

Parità: Pari (simmetria rispetto all’asse y)

Inversa: arccos(x) su [−1, 1]

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Periodicità: 2π

Monotonia: Alterna decrescente/crescente ogni semiperiodo

Concavità: Alterna concava/convessa ogni semiperiodo

Punti notevoli: cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1

Derivata: −sin(x)

Integrale: sin(x) + C

Limiti notevoli: lim(x→0) cos(x) = 1

Taylor: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • x²ⁿ] / (2n)!

Sviluppo di Taylor: cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + …

Stima asintotica: cos(x) ≈ 1 − x²/2 + o(x²) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: ∑_n=1^∞ [(−1)ⁿ • 2n • x²ⁿ⁻¹] / (2n)!

Integrale della serie: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • x²ⁿ⁺¹] / ( (2n)! • (2n + 1) )

Identità: sin²(x) + cos²(x) = 1

Collegamenti: cos(x) = sin(x + π/2)

Applicazioni: Moto armonico, segnali periodici, trigonometria

Esempi: cos(π/3) = ½, cos(−π/2) = 0

Logaritmo naturale — ln(x) ✔

Dominio: (0, ∞)

Codominio: ℝ

Parità: Nessuna

Inversa: e^x

Continuità: ✔ continua su (0, ∞)

Derivabilità: ✔ derivabile su (0, ∞)

Monotonia: Crescente

Concavità: Concava

Asintoto: Verticale in x = 0

Punti notevoli: ln(1) = 0, ln(e) = 1

Derivata: 1/x

Integrale: x•ln(x) − x + C

Limiti notevoli: lim(x→0⁺) ln(x) = −∞

Taylor (forma canonica ln(1 + x), intorno a x = 0):

Sviluppo di Taylor:ln(1 + x) ≈ x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …

Stima asintotica: ln(1 + x) ≈ x − x²/2 + o(x²) per |x| ≪ 1

Taylor (intorno a x = 1): ∑_n=1^∞ [(−1)ⁿ⁺¹ • (x−1)ⁿ] / n

Sviluppo di Taylor: ln(x) ≈ (x−1) − (x−1)²/2 + (x−1)³/3 − …

Stima asintotica: ln(x) ≈ (x−1) − (x−1)²/2 + o((x−1)²) per x ≈ 1

Derivata della serie: ∑_n=1^∞ [(−1)ⁿ⁺¹ • n • (x−1)ⁿ⁻¹] / n

Integrale della serie: ∑_n=1^∞ [(−1)ⁿ⁺¹ • (x−1)ⁿ⁺¹] / (n(n+1))

Identità: ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Collegamenti: ln(e^x) = x

Applicazioni: Crescita esponenziale inversa, entropia, scala logaritmica

Esempi: ln(10) ≈ 2.30, ln(½) ≈ −0.69

Esponenziale — e^x ✔

Dominio: ℝ

Codominio: (0, ∞)

Parità: Nessuna

Inversa: ln(x)

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Monotonia: Crescente

Concavità: Convessa

Punti notevoli: e⁰ = 1, e¹ = e

Derivata: e^x

Integrale: e^x + C

Limiti notevoli: lim(x→∞) e^x = ∞, lim(x→−∞) e^x = 0

Taylor: ∑_n=0^∞ xⁿ / n!

Sviluppo di Taylor: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + …

Stima asintotica: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + o(x²) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: ∑_n=1^∞ xⁿ⁻¹ / (n−1)!

Integrale della serie: ∑_n=0^∞ xⁿ⁺¹ / ((n+1) • n!)

Identità: e^a+b = e^a • e^b

Collegamenti: ln(e^x) = x

Applicazioni: Crescita esponenziale, interesse composto, modelli biologici

Esempi: e⁰ = 1, e^ln(2) = 2

Arcoseno — arcsin(x) ✔

Dominio: [−1, 1]

Codominio: [−π/2, π/2]

Parità: Dispari

Inversa: sin(x)

Continuità: ✔ continua su [−1, 1]

Derivabilità: ✔ derivabile su (−1, 1)

Monotonia: Crescente

Concavità: Concava su (0, 1), convessa su (−1, 0)

Punti notevoli: arcsin(0) = 0, arcsin(1) = π/2

Derivata: 1 / √(1 − x²)

Integrale: x•arcsin(x) + √(1 − x²) + C

Limiti notevoli: lim(x→±1) arcsin(x) = ±π/2

Taylor: ∑_n=0^∞ [(2n)! • x²ⁿ⁺¹] / [4ⁿ • (n!)² • (2n + 1)]

Sviluppo di Taylor: arcsin(x) ≈ x + x³/6 + 3x⁵/40 + …

Stima asintotica: arcsin(x) ≈ x + x³/6 + o(x³) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: ∑_n=0^∞ [(2n)! • x²ⁿ] / [4ⁿ • (n!)²]

Integrale della serie: ∑_n=0^∞[(2n)! • x²ⁿ⁺²] / [4ⁿ • (n!)² • (2n + 1)(2n + 2)]

Identità: arcsin(x) + arccos(x) = π/2

Collegamenti: sin(arcsin(x)) = x

Applicazioni: trigonometria inversa, angoli da coordinate

Esempi: arcsin(½) = π/6, arcsin(−1) = −π/2

Arcocoseno — arccos(x) ✔

Dominio: [−1, 1]

Codominio: [0, π]

Parità: Nessuna

Inversa: cos(x)

Continuità: ✔ continua su [−1, 1]

Derivabilità: ✔ derivabile su (−1, 1)

Monotonia: Decrescente

Concavità: Concava su (−1, 0), convessa su (0, 1)

Punti notevoli: arccos(1) = 0, arccos(0) = π/2

Derivata: −1 / √(1 − x²)

Integrale: x•arccos(x) − √(1 − x²) + C

Limiti notevoli: lim(x→±1) arccos(x) = 0 o π

Taylor: π/2 − ∑_n=0^∞ [(2n)! • x²ⁿ⁺¹] / [4ⁿ • (n!)² • (2n + 1)]

Sviluppo di Taylor: arccos(x) ≈ π/2 − x − x³/6 − 3x⁵/40 + …

Stima asintotica: arccos(x) ≈ π/2 − x − x³/6 + o(x³) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: −∑_n=0^∞ [(2n)! • x²ⁿ] / [4ⁿ • (n!)²]

Integrale della serie: −∑_n=0^∞ [(2n)! • x²ⁿ⁺²] / [4ⁿ • (n!)² • (2n + 1)(2n + 2)]

Identità: arccos(x) + arcsin(x) = π/2

Collegamenti: cos(arccos(x)) = x

Applicazioni: trigonometria inversa, angoli da coordinate

Esempi: arccos(½) = π/3, arccos(−1) = π

Sinh — sinh(x) ✔

Dominio: ℝ

Codominio: ℝ

Parità: Dispari

Inversa: arsinh(x)

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Monotonia: Crescente

Concavità: Convessa

Punti notevoli: sinh(0) = 0

Derivata: cosh(x)

Integrale: cosh(x) + C

Limiti notevoli: lim(x→±∞) sinh(x) = ±∞

Taylor: ∑_n=0^∞ x²ⁿ⁺¹ / (2n + 1)!

Sviluppo di Taylor: sinh(x) ≈ x + x³/6 + x⁵/120 + …

Stima asintotica: sinh(x) ≈ x + x³/6 + o(x³) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: ∑_n=0^∞ x²ⁿ / (2n)!

Integrale della serie: ∑_n=0^∞ x²ⁿ⁺² / ((2n + 1)! • (2n + 2))

Identità: cosh²(x) − sinh²(x) = 1

Collegamenti: sinh(x) = −i sin(ix)

Applicazioni: geometria iperbolica, equazioni differenziali

Esempi: sinh(1) ≈ 1.18, sinh(−1) ≈ −1.18

Cosh — cosh(x) ✔

Dominio: ℝ

Codominio: [1, ∞)

Parità: Pari

Inversa: arcosh(x)

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Monotonia: Decrescente su (−∞, 0), crescente su (0, ∞)

Concavità: Convessa

Punti notevoli: cosh(0) = 1

Derivata: sinh(x)

Integrale: sinh(x) + C

Limiti notevoli: lim(x→±∞) cosh(x) = ∞

Taylor: ∑_n=0^∞ x²ⁿ / (2n)!

Sviluppo di Taylor: cosh(x) ≈ 1 + x²/2 + x⁴/24 + …

Stima asintotica: cosh(x) ≈ 1 + x²/2 + o(x²) per |x| ≪ 1

Derivata della serie: ∑_n=1^∞ 2n x²ⁿ⁻¹ / (2n)!

Integrale della serie: ∑_n=0^∞ x²ⁿ⁺¹ / ((2n)! • (2n + 1))

Identità: cosh²(x) − sinh²(x) = 1

Collegamenti: cosh(x) = cos(ix)

Applicazioni: catenarie, fisica relativistica

Esempi: cosh(0) = 1, cosh(1) ≈ 1.54

Tanh — tanh(x) ✔

Dominio: ℝ

Codominio: (−1, 1)

Parità: Dispari

Inversa: artanh(x)

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Monotonia: Crescente

Concavità: Concava su x > 0, convessa su x < 0

Punti notevoli: tanh(0) = 0

Derivata: 1 − tanh²(x)

Integrale: ln(cosh(x)) + C

Limiti notevoli: lim(x→±∞) tanh(x) = ±1

Taylor: ∑_n=1^∞ [2²ⁿ (2²ⁿ − 1) B_2n x²ⁿ⁻¹] / (2n)!

Sviluppo di Taylor: tanh(x) ≈ x − x³/3 + 2x⁵/15 − …

Stima asintotica: tanh(x) ≈ x − x³/3 + o(x³) per |x| ≪ 1

Identità: tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

Collegamenti: tanh(x) = −i tan(ix)

Applicazioni: reti neurali, modelli di saturazione

Esempi: tanh(1) ≈ 0.76, tanh(−1) ≈ −0.76

Arsinh — arsinh(x) ✔

Dominio: ℝ

Codominio: ℝ

Parità: Dispari

Inversa: sinh(x)

Continuità: ✔ continua su ℝ

Derivabilità: ✔ derivabile su ℝ

Monotonia: Crescente

Concavità: Concava su x > 0, convessa su x < 0

Punti notevoli: arsinh(0) = 0

Derivata: 1 / √(x² + 1)

Integrale: x•arsinh(x) − √(x² + 1) + C

Limiti notevoli: lim(x→±∞) arsinh(x) ≈ ln(2x)

Taylor: ∑_n=0^∞ [(−1)ⁿ • (2n)! • x²ⁿ⁺¹] / [4ⁿ • (n!)² • (2n + 1)]

Sviluppo di Taylor: arsinh(x) ≈ x − x³/6 + 3x⁵/40 − …

Stima asintotica: arsinh(x) ≈ x − x³/6 + o(x³) per |x| ≪ 1

Identità: sinh(arsinh(x)) = x

Collegamenti: arsinh(x) = ln(x + √(x² + 1))

Applicazioni: geometria iperbolica, modelli relativistici

Esempi: arsinh(1) ≈ 0.88, arsinh(−1) ≈ −0.88

Arcosh — arcosh(x) ✔

Dominio: [1, ∞)

Codominio: [0, ∞)

Parità: Nessuna

Inversa: cosh(x)

Continuità: ✔ continua su [1, ∞)

Derivabilità: ✔ derivabile su (1, ∞)

Monotonia: Crescente

Concavità: Concava su x > √2, convessa su x < √2

Punti notevoli: arcosh(1) = 0

Derivata: 1 / √(x² − 1)

Integrale: x•arcosh(x) − √(x² − 1) + C

Limiti notevoli: lim(x→∞) arcosh(x) ≈ ln(2x)

Serie di Taylor (intorno a x = 1):
∑_n=0^∞ [(2n)! • (x−1)ⁿ] / [4ⁿ • (n!)² • (2n + 1)]

Sviluppo di Taylor:
arcosh(x) ≈ √(2(x−1)) − (x−1)^3/2/12 + …

Stima asintotica:
arcosh(x) ≈ √(2(x−1)) + o(x−1) per x ≈ 1

Identità: cosh(arcosh(x)) = x

Collegamenti: arcosh(x) = ln(x + √(x² − 1))

Applicazioni: fisica, geometria iperbolica

Esempi: arcosh(2) ≈ 1.32

Artanh — artanh(x) ✔

Dominio: (−1, 1)

Codominio: ℝ

Parità: Dispari

Inversa: tanh(x)

Continuità: ✔ continua su (−1, 1)

Derivabilità: ✔ derivabile su (−1, 1)

Monotonia: Crescente

Concavità: Concava su x > 0, convessa su x < 0

Punti notevoli: artanh(0) = 0

Derivata: 1 / (1 − x²)

Integrale: x + ½ ln(1 − x²) + C

Limiti notevoli: lim(x→±1) artanh(x) = ±∞

Taylor: ∑_n=0^∞ x²ⁿ⁺¹ / (2n + 1)

Sviluppo di Taylor: artanh(x) ≈ x + x³/3 + x⁵/5 + …

Stima asintotica: artanh(x) ≈ x + x³/3 + o(x³) per |x| ≪ 1

Identità: tanh(artanh(x)) = x

Collegamenti: artanh(x) = ½ ln((1 + x)/(1 − x))

Applicazioni: modelli di saturazione, reti neurali

Esempi: artanh(½) ≈ 0.55

Serie numerica

Una serie numerica è la somma di una successione infinita di termini:
∞
Σ 𝑎𝑛
𝑛 = 1

Se la somma tende a un numero finito → convergente
Se diverge o oscilla → divergente

Condizione Necessaria

Se la serie converge, allora:
lim⁡ 𝑛 → ∞𝑎𝑛 = 0
Non sufficiente: anche se il limite è zero, la serie può divergere (es. serie armonica).
Tag: Limite nullo, Non sufficienza, Serie armonica

Criteri di Convergenza per Serie

Mnemonico:
"Se arrivi bene Σ 𝑏𝑛 converge, sei partito bene Σ 𝑎𝑛 converge.
Se sbagli partenza Σ 𝑎𝑛 diverge, non arrivi a destinazione Σ 𝑏𝑛 diverge."

Se Σ 𝑏𝑛 converge ⇒ anche Σ 𝑎𝑛 converge
Se Σ 𝑎𝑛 diverge ⇒ anche Σ 𝑏𝑛 diverge

Confronto diretto: Se 0 ≤ aₙ ≤ bₙ e ∑bₙ converge → ∑aₙ converge
Confronto asintotico: aₙ/bₙ->L ∈(0,∞) se aₙ ~ bₙ e ∑bₙ converge → ∑aₙ converge
Criterio del rapporto (D’Alembert): Se lim |aₙ₊₁ / aₙ| = L:
- L < 1 ⇒ converge
- L > 1 ⇒ diverge
- L = 1 ⇒ indeterminato
Criterio della radice (Cauchy): Se lim √[n]{|aₙ|} = L:
- L < 1 ⇒ converge
- L > 1 ⇒ diverge
- L = 1 ⇒ indeterminato
Serie alternante (Leibniz): Se aₙ decrescente e aₙ → 0 ⇒ ∑(−1)ⁿaₙ converge
Condizione necessaria: Se lim aₙ ≠ 0 ⇒ ∑aₙ diverge
IntegraleSe 𝑓(𝑛)=𝑎𝑛 è decrescente e positiva, si confronta con:∫

∞
1
𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Serie Notevoli

Geometrica: ∑xⁿ converge per |x| < 1
Valore a/(a-1)
Armonica: ∑1/n diverge
P-serie: ∑1/n^p converge se p > 1
Alternata armonica: ∑(−1)ⁿ/n converge
Exponenziale: ∑xⁿ/n! converge per ogni x
Binomiale generalizzato: ∑C(n, α)•xⁿ converge per |x| < 1

Duaignosi operativa

Riconoscimento della forma
- Fattoriale?
- Potenza?
- Logaritmo?
- Alternanza?
- Struttura visibile?
Dominanza e Decadimento
- Fattoriale ⇒ convergenza
- Potenza > 1 ⇒ convergenza
- Logaritmo ⇒ correttore debole
- Esponente crescente ⇒ convergenza automatica
- Oscillazione ⇒ test di Leibniz o confronto
Scelta del criterio
- Confronto diretto
- Confronto asintotico
- Rapporto
- Radice
- Integrale
- Leibniz
- Assoluto
Diagnosi finale
- Convergenza assoluta
- Convergenza condizionata
- Divergenza
- Telescopica con somma esplicita
Riconoscimento della forma
- Fattoriale?
- Potenza?
- Logaritmo?
- Alternanza?
- Struttura visibile?
Dominanza e Decadimento
- Fattoriale ⇒ convergenza
- Potenza > 1 ⇒ convergenza
- Logaritmo ⇒ correttore debole
- Esponente crescente ⇒ convergenza automatica
- Oscillazione ⇒ test di Leibniz o confronto
Scelta del criterio
- Confronto diretto
- Confronto asintotico
- Rapporto
- Radice
- Integrale
- Leibniz
- Assoluto
Diagnosi finale
- Convergenza assoluta
- Convergenza condizionata
- Divergenza
- Telescopica con somma esplicita

Serie Geometrica pura

Espressione: ∑∞ⁿ⁼⁰rⁿ=

1

1-r

Condizione |r|< 1

Personificazione:Primo su freno

Serie Geometrica con r=1/q

Espressione: ∑∞ⁿ⁼⁰1/qⁿ=

1

1-(1/q)

=

1

(q-1)/q)

=

q

q-1

Per imporre che la serie tenda a k

1

1-r

=k =

k-1

k

cioè r = 1 -

1

k

Condizione |r|< 1 -> |1/q|< 1 -> q > 1

Serie Geometrica generalizzata

Espressione: ∑_n=0^∞

a • rⁿ

Coefficienti: L = esponenziale, a = a

Stima lineare: a + ar

Stima quadratica: a + ar + ar²

Esempio concreto: a = 1, r = ½ ⇒ S = 1 + ½ + ¼ = 1.75

Tag mnemonici: Rapporto costante, Somma razionale, Convergenza per |r| < 1

Personificazione: Progressione moltiplicativa

Somma parziale (fino a 𝑛)

Espressione: ∑_n∈S

1−𝑞ⁿ⁺¹

1-q

Coefficienti: L = dipende da densità, a = variabile

Stima lineare: somma parziale su S

Stima quadratica: dipende da distribuzione

Esempio concreto: S = numeri pari ⇒ ∑ 1⁄2n

Tag mnemonici: Selezione discreta, Convergenza condizionata

Personificazione: Filtro razionale

Serie Armonica

Espressione: ∑_n=1^∞

1

n

Coefficienti: L = 1, a = 1

Stima lineare: ln(N)

Stima quadratica: ln(N) + γ + 1⁄(2N)

Esempio concreto: N = 1000 ⇒ S ≈ 7.5

Tag mnemonici: Divergenza logaritmica, Serie lenta

Personificazione: Viandante infinito

Serie Alternata Armonica di Leibnitz

Espressione: ∑_n=1^∞

(-1)ⁿ⁺¹

n

-> ln(2)

Coefficienti: L = 1, a = 1

Stima lineare: 1 − ½

Stima quadratica: + ⅓

Esempio concreto: S = ln(2) ≈ 0.693

Tag mnemonici: Alternanza armonica, Convergenza logaritmica

Personificazione: Pendolo logaritmico

P-serie

Espressione: ∑_n=1^∞

1

n^p

Coefficienti: L = p, a = 1

Stima lineare: 1⁄1 + 1⁄2^p

Stima quadratica: + 1⁄3^p

Esempio concreto: p = 2 ⇒ S = π²⁄6

Tag mnemonici: Convergenza per p > 1, Divergenza per p ≤ 1

Personificazione: Curva di potenza

Serie di Basel

Espressione: ∑_n=1^∞

1

n²

-> π²⁄6

Coefficienti: L = 2, a = 1

Stima lineare: π²⁄6 − 1⁄N

Stima quadratica: π²⁄6 − 1⁄N + 1⁄(2N²)

Esempio concreto: N = 10 ⇒ S₁₀ ≈ 1.549

Tag mnemonici: Quadrato armonico, Convergenza elegante, Pi greco nascosto

Personificazione: Pi greco armonico

Serie telescopica di Mengoli

Espressione: ∑_n=1^∞

1

n(n+1)

-> 1

Espressione: ∑_n=1^∞

1

n

-

1

n+1

Coefficienti: L = 2, a = 1

Stima lineare: 1 − 1⁄(N+1)

Stima quadratica: 1 − 1⁄(N+1) + 1⁄(N+1)²

Esempio concreto: N = 9 ⇒ S ≈ 0.9

Tag mnemonici: Telescopica pura, Differenza armonica

Personificazione: Scala che si chiude

Serie di Gregory

Espressione: ∑_n=0^∞

(-1)ⁿ

2n + 1

Coefficienti: L = 1, a = 1

Stima lineare: π⁄4 − 1⁄(2N+3)

Stima quadratica: π⁄4 − 1⁄(2N+3) + 1⁄(2N+3)²

Esempio concreto: N = 10 ⇒ S ≈ 0.760

Tag mnemonici: Alternanza dispari, Serie di π

Personificazione: Pendolo razionale

Serie di Fourier

Espressione: ∑_n=1^∞

a_ncos(nx) + b_nsin(nx)

Coefficienti: L = dipende da regolarità, a = modulato da aₙ, bₙ

Stima lineare: primi due termini

Stima quadratica: primi quattro termini

Esempio concreto: Onda quadra ⇒ convergenza con effetto Gibbs

Tag mnemonici: Spettro trigonometrico, Convergenza armonica

Personificazione: Orchestra trigonometrica

Serie esponenziale

Espressione: ∑_n=0^∞

xⁿ

n!

-> e^x

Coefficienti: L = fattoriale, a = 1

Stima lineare: 1 + x

Stima quadratica: 1 + x + x²⁄2

Esempio concreto: x = 0.1 ⇒ eˣ ≈ 1.105

Tag mnemonici: Acceleratore armonico, Fattoriale vincente, Convergenza universale

Personificazione: Motore universale

Serie Binomiale Generalizzata

Espressione: ∑_n=0^∞

C(k,n) • xⁿ

Coefficienti: L = dipende da k, a = 1

Stima lineare: 1 + kx

Stima quadratica: + k(k−1)x²⁄2

Esempio concreto: (1 + 0.1)³ ≈ 1.33

Tag mnemonici: Espansione binomiale, Curvatura quadratica

Personificazione: Potenza che si apre a ventaglio

Esercizi Tipo

Studia la convergenza di ∑(1/n² + sin(n)/n)
Determina il raggio di convergenza di ∑xⁿ/n
Espandi ln(1 + x) in serie e verifica la convergenza
Confronta ∑1/n² con ∫1/x² dx per x ≥ 1
Usa il criterio del rapporto su ∑n!/xⁿ
Verifica la convergenza assoluta di ∑(−1)ⁿ/√n

Flashcard delle Funzioni Matematiche

Flashcard Operative sulle Stime

Stima di √(1 + x)

Formula generale (sviluppo di Taylor attorno a x = 0)

Stime principali

Esempi numerici

Stime di funzioni elementari

Potenza con base costante

Inversa con base costante

Base variabile

Binomio espanso

Binomio frenato

Potenza composta — log-esponenziale forma 1∞

Rapporto potenza — frazione logaritmica

Logaritmica — versione lineare del log

Logaritmo di potenza

Limite differenziale (derivata)

Arcotangente — arctan(x) ✔

Seno — sin(x) ✔

Coseno — cos(x) ✔

Logaritmo naturale — ln(x) ✔

Esponenziale — ex ✔

Arcoseno — arcsin(x) ✔

Arcocoseno — arccos(x) ✔

Sinh — sinh(x) ✔

Cosh — cosh(x) ✔

Tanh — tanh(x) ✔

Arsinh — arsinh(x) ✔

Arcosh — arcosh(x) ✔

Artanh — artanh(x) ✔

Serie numerica

Criteri di Convergenza per Serie

Serie Notevoli

Duaignosi operativa

Serie Geometrica pura

Serie Geometrica con r=1/q

Per imporre che la serie tenda a k

Serie Geometrica generalizzata

Somma parziale (fino a 𝑛)

Serie Armonica

Serie Alternata Armonica di Leibnitz

P-serie

Serie di Basel

Serie telescopica di Mengoli

Serie di Gregory

Serie di Fourier

Serie esponenziale

Serie Binomiale Generalizzata

Esercizi Tipo

Potenza composta — log-esponenziale forma 1^∞

Esponenziale — e^x ✔