FUNZIONI

Il concetto di funzione nasce dalla corrispondenza fra grandezze e si può definire:

• con un rilevamento empirico es temperatura misurata in un certo luogo, in un dato intervallo di tempo
• con una formula (legge) es. la relazione tra i lati x e y di un rettangolo di area unitaria da cui si ricava: y=1/x

LE FUNZIONI NUMERICHE SI DIVIDONO IN:

• EMPIRICHE
• MATEMATICHE

f: A → B
a → f(a)

Definizione funzione

• Dati due insiemi A e B si definisce funzione tra A e B una legge “f” che fa corrispondere ad ogni elemento di A uno è uno solo elemento di B.
• A si dice Dominio di f o insieme di definizione di f (o campo di esistenza).
• B si dice Codominio di f.
• f(x) è detta immagine di x dove x è l'argomento di f ed è la variabile indipendente mentre la y, cioè la f(x) è la variabile dipendente.
• Possiamo pensare l'immagine come tutti i valori in uscita.
• Valori di entrata → funzione → valori di uscita Im(f)
• x variabile indipendente detta anche controimmagine.
• y variabile dipendente detta anche immagine.

Esempio funzione

Es. f: R → R
x → x²
Ad ogni x appartenente a R corrisponde mediante f la funzione x al quadrato y=x².
Il Dominio è R.
Il Codominio è R.
L'immagine è R⁺.

Essendo una parabola verso l'alto l'immagine è data dall'intervallo 0, +infinito.

Esempio di non funzione: La radice quadrata algebrica non è una funzione, infatti alla radice di 4 corrispondono due valori +2 e -2.

Non necessariamente il Codominio coincide con l'insieme B di arrivo della funzione.

Verificare sempre le condizioni di esistenza di una funzione, ad esempio 1/x impone che x deve essere diverso da 0.

Una funzione cartesiana può essere rappresentata graficamente.

• Funzioni INIETTIVE: Dati due insiemi A e B, una funzione f da A verso B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.
• Presi dal Dominio a₁ diverso da a₂ ne consegue f(a₁) diverso da f(a₂).
• Graficamente, nell'insieme di arrivo non deve arrivare più di una freccia allo stesso elemento.
• Funzioni SURIETTIVE: Dati due insiemi A e B e una funzione f che va da A in B, si dice suriettiva se per ogni elemento in B del Codominio esiste almeno una controimmagine in A (Dominio).
• Funzioni BIUNIVOCHE O BIIETTIVE: Dati due insiemi A e B e una funzione f da A verso B, si dice biiettiva se la funzione è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
• Le funzioni biunivoche sono invertibili. Si indicano con y = f^-1: B → A di x con uno scambio di simboli.

Passaggi per trovare la funzione inversa:

1. Sostituire f(x) con y: Inizia scrivendo la funzione come y=f(x).
2. Scambiare x e y.
3. Risolvere per y: Isola y nell'equazione.
4. Sostituire y con f^-1(x): Una volta isolato y, sostituiscilo con f^-1(x) per ottenere la funzione inversa.

Ecco un esempio pratico:

Supponiamo di avere la funzione f(x)=2x+3.

1. Scrivere y = 2x + 3.
2. Scambiare x e y: x = 2y + 3.
3. Risolvere per y: 2y = x - 3 → y = (x - 3) / 2.

Funzione Composta: Una funzione composta è il risultato dell'applicazione di una funzione a un'altra funzione. Date due funzioni f e g, la funzione composta g°f è definita come (g°f)(x)=g(f(x)).

Esempio: Se f(x) = x² e g(x)=x+1, allora (g°f)(x)=g(f(x))=g(x²) = x²+1.

Funzione Pari: Una funzione f(x) è pari se soddisfa la condizione f(-x)=f(x). f(-x) = f(x) per ogni x nel dominio della funzione. Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y.

• Esempio: f(x)=x²
• f(x) = x² è una funzione pari perché f(-x)=(-x)²=x²=f(x)

Funzione Dispari: Una funzione f(x) è dispari se soddisfa la condizione f(-x)=-f(x) per ogni x nel dominio della funzione. Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all'origine.

• Esempio: f(x)=x³ è una funzione dispari perché f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)
• f(-x) = -x³ = -f(x)

Funzione Periodica: Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero positivo T tale che f(x+T)=f(x) per ogni x nel dominio della funzione. Il numero T è chiamato periodo della funzione.

• Esempio: f(x)=sin(x) è una funzione periodica con periodo 2π
• sen(x+2π)=sen(x)

CLASSIFICAZIONE FUNZIONI

• ALGEBRICHE
  • RAZIONALI INTERE (ES POLINOMI) - RAZIONALI FRATTE (FRAZIONI ALGEBRICHE DOVE LA x APPARE SOTTO FRAZIONE)
  • IRRAZIONALI LA x APPARE SOTTO RADICE, SI SUDDIVIDONO IN INTERE E FRATTE
• TRASCENDENTI (NON ALGEBRICHE)

Esempio di razionale intera: y=x+3. Solo nella forma implicita si può vedere il grado di una funzione. Nelle razionali intere il dominio è tutto R.

ES RAZIONALI FRATTE (LA x E' A DENOMINATORE)

(x²) / x³

D: Q(x)≠0

ES IRRAZIONALE INTERA

Y=[√(x²+3)]/7

Distinguere se la radice è pari o dispari:

• Se dispari D:R
• Se pari P(x) ≥ 0

ES IRRAZIONALE FRATTA (LA x E' A DENOMINATORE)

Y= [√(x²-7)]/x Y=√(P(x)/Q(x))

• Se dispari bisogna porre Q(x)≠0 in quanto è a denominatore
• Se pari Q(x)≠0 e [P(x)/Q(x)] ≥0. In realtà è sufficiente [P(x)/Q(x)] ≥0

Altro esempio: la x è a denominatore ma sotto radice

Y= [√(x²-7)/x]

ES. MISTA

• Y=ln[(e^x)+x]/(x+2)
• y=(x²)/(x+3) per vedere il grado la si deve trasformare in implicita:
• (x+3)y-(x²)=0 xy+3y-x²=0 (secondo grado)
• Vediamo il grado: y=(√(x²+3))/7
• 7y=√(x²+3) elevo entrambi i membri a quadrato per togliere radice:
• 49y² =x²+3 (in realtà ci sarebbero le condizioni di esistenza da considerare)

ES. TRASCENDENTI

• ESPONENZIALI (x ALL'ESPONENTE)
  • Y=a^x D:R CON a>0 (PRE-CONDIZIONE)

LOGARITMI (LA x E' ARGOMENTO DEL LOGARITMO)

log in base a di x Log_a(x) a>0 D:x>0

GONIOMETRICHE

DIVISIBILI IN PURE (SOLO UNA FAMIGLIA)
SEMPRE DIVISIBILI IN INTERE E FRATTE E MISTE (PIÙ FAMIGLIE)
SEMPRE DIVISIBILI IN INTERE E FRATTE

y=sen(x) D:R funzione periodica

y=cos(x) D:R funzione periodica

y=tg(x) = sen(x)/cos(x) D:cos(x) ≠ 0 cioè x ≠ π/2 + 2kπ 90° + multipli 180°

y=cot(x) = cos(x)/sen(x) D: sen(x) ≠ 0 cioè x ≠ 0 + kπ

y=sec(x) = 1/cos(x) D: x ≠ π/2 + kπ

y=csc(x) = 1/sen(x) D: x ≠ 0 + kπ

ES GONIOMETRICA

Y=TAN(x) IN REALTÀ È FRATTA SEN(x)/COS(x)